Вселенной называется всё сущее на свете. Это и Земля, на которой мы живём, это и горы и моря, покрывающие её поверхность. Это наша Луна и наше Солнце и это бесчисленные звезды, пылающие над нашей головой.
«Мир» никогда не кончится: вселенная была и будет вечна в своём движении и развитии.


Законы движения планет – законы Кеплера. Законы кеплера законы движения планет


Законы Кеплера

Создание модели Вселенной

В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле.

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства.

Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации - открытию закона всемирного тяготения.

С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям. Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем ($140$ г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более $14$ столетий и только в середине $XVI$ века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном И.Кеплер в начале $XVII$ века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы.

Изучая результаты многолетних наблюдений планеты Марс датским астрономом Т. Браге, немецкий ученый И. Кеплер обнаружил, что орбита Марса не окружность, а имеет вытянутую форму эллипса. Как известно, у эллипса есть две точки $F_{1} $ и $F_{2} $ (рис. 1), сумма расстояний которых ($r_{1} +r_{2} $) от любой точки В эллипса есть величина постоянная.

Рисунок 1.

Прямая $A_1A_2$, лежащая внутри эллипса и проходящая через его фокусы, называется большой осью эллипса. Мерой сплюснутости эллипса является его эксцентриситет, равный отношению расстояния между фокусами к большой оси $5=\frac{F_{} F_{} }{A_{1} A_{2} } $. Линия, соединяющая любую точку эллипса с одним из его фокусов, называется радиусом-вектором этой точки.

Три закона движения планет

Кеплер исследовал движения всех известных в то время планет и вывел три закона движения планет.

Во-первых, орбиты всех планет (а не только Марса) являются эллипсами с общим фокусом, в котором находится Солнце. Степень вытянутости орбит у разных планет различная. У Земли эксцентриситет очень мал (всего $0,017$), и орбита Земли мало отличается от окружности. Поэтому кратчайшее расстояние Земли от Солнца (в перигелии) мало отличается от наибольшего (в афелии). Наиболее вытянутые орбиты имеют Меркурий (эксцентриситет $0,21$) и Плутон (эксцентриситет $0,25$).

Рисунок 2.

Во-вторых, каждая планета по своей орбите движется таким образом, что ее радиус-вектор за одинаковые промежутки времени описывает равные площади (площади секторов $A_1A_2F$ и $B_1B_2F$ на рис. 2 равны). Это значит, что чем ближе планета к Солнцу, тем у нее больше скорость движения по орбите. Например, Марс вблизи перигелия движется со скоростью $26,5$ км/с, а около афелия его скорость уменьшается до $22$ км/с.

Кометы, являясь членами Солнечной системы, движутся по тем же законам, что и планеты, но у некоторых из них орбиты настолько вытянуты, что вблизи Солнца скорость их движения доходит до $500$ км/с, а в афелии их скорость снижается до $1$ см/с.

Первые два закона движения планет Солнечной системы Кеплер опубликовал в $1609$ г. Спустя десять лет он обнаружил третью закономерность в движении планет и сформулировал ее так: отношение кубов больших полуосей орбит двух любых планет Солнечной системы равно отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца.

Этот закон имел большое значение для определения масштабов Солнечной системы, т. е. расстояний планет от Солнца. Если за единицу времени принять один год, а за единицу расстояния --- среднее расстояние Земли от Солнца (астрономическую единицу), то, определив из наблюдений период обращения какой-либо планеты в годах ($T$), легко получить значение большой полуоси этой планеты ($a$) по формуле:

Например, период обращения Марса по наблюдениям равен $1,88$ года. Тогда по этой формуле можно вычислить большую полуось орбиты Марса, которая оказывается равной $1,52$ а. е. Таким образом, Марс примерно в полтора раза дальше от Солнца, чем Земля.

Установленные Кеплером законы движения планет еще раз наглядно показывают, что мир планет есть стройная система, управляемая единой силой, источником которой является Солнце.

Пример 1

Определите, во сколько раз масса Солнца больше массы Земли, если известно, что период обращения Луны вокруг Земли $27,2$ сут., а среднее расстояние ее от Земли $384000$ км.

Дано: $T_{;} =27,2$сут., $a_{;} =3.84\cdot 10^{5} $км.

Найти: $\frac{m_{c} }{m_{3} } $-?

Решение: $T_{3} =365$сут -- период обращения Земли вокруг Солнца

$a_{3} =1.5\cdot 10^{8} $км -- среднее расстояние от Земли до Солнца.

Для решения используем формулу третьего закона Кеплера с учетом второго закона Ньютона:

\[\frac{m_{c} +m_{3} }{m_{3} +m_{;} } \cdot \frac{T_{3}^{2} }{T_{;}^{2} } =\frac{a_{3}^{3} }{a_{;}^{3} } .\]

Учитывая, что масса Земли по отношению к массе Солнца и масса Луны по отношению к массе Земли ничтожно малы, то формулу можно переписать в виде:

\[\frac{m_{c} }{m_{3} } \cdot \frac{T_{3}^{2} }{T_{;}^{2} } =\frac{a_{3}^{3} }{a_{;}^{3} } \]

Отсюда находим искомое отношение масс:

\[\frac{m_{c} }{m_{3} } =\frac{a_{3}^{3} }{a_{;}^{3} } \cdot \frac{T_{3}^{2} }{T_{;}^{2} } .\]

Ответ: $\frac{m_{c} }{m_{3} } =0,3\cdot 10^{6} $.

spravochnick.ru

Законы Кеплера

.

Три закона движения планет относительно Солнца были выведены эмпирически немецким астрономом Иоганном Кеплером в начале XVII века. Это стало возможным благодаря многолетним наблюдениям датского астронома Тихо Браге.

Первый закон Кеплера. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон Кеплера (закон равных площадей). Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади. Другая формулировка этого закона: секториальная скорость планеты постоянна.

Третий закон Кеплера. Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит.

Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам. Скорость движения планеты в перигелии:

где vc – средняя или круговая скорость планеты при r = a. Скорость движения в афелии: Кеплер открыл свои законы эмпирическим путем. Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение Ньютоном третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел.

Третий закон Кеплера. Скорости близких к Солнцу планет значительно больше, чем скорости далеких. Пояснение к рисунку справа - Скорости близких к Солнцу планет значительно больше, чем скорости далеких. В обобщенном виде этот закон обычно формулируется так: квадраты периодов T1 и T2 обращения двух тел вокруг Солнца, помноженные на сумму масс каждого тела (соответственно M1 и M2) и Солнца (М ), относятся как кубы больших полуосей a1 и a2 их орбит: При этом взаимодействие между телами M1 и M2 не учитывается. Если пренебречь массами этих тел в сравнении с массой Солнца (т.е. M1 << М , M2 << М ), то получится формулировка третьего закона, данная самим Кеплером:

Третий закон Кеплера можно также выразить как зависимость между периодом T обращения по орбите тела с массой M и большой полуосью орбиты a (G – гравитационная постоянная):

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Для простоты часто говорится, что одно тело обращается вокруг другого, но это справедливо только для случая, когда масса первого тела пренебрежимо мала по сравнению с массой второго (притягивающего центра). Если же массы сравнимы, то следует учитывать и влияние менее массивного тела на более массивное. В системе координат с началом в центре масс орбиты обоих тел будут коническими сечениями, лежащими в одной плоскости и с фокусами в центре масс, с одинаковым эксцентриситетом. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). В любой момент времени центр масс будет лежать на прямой, соединяющей центры тел, а расстояния до центра масс r1 и r2 тел массой M1 и M2 соответственно связаны следующим соотношением: r1/r2 = M2/M1. Перицентры и апоцентры своих орбит (если движение финитно) тела также будут проходить одновременно. Третий закон Кеплера можно использовать, чтобы определить массу двойных звезд.

Эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F1 и F2) есть величина постоянная и равная длине большой оси: r1 + r2 = |AA´| = 2a. Степень вытянутости эллипса характеризуется его эксцентриситетом е. Эксцентриситет е = ОF/OA. При совпадении фокусов с центром е = 0, и эллипс превращается в окружность. Большая полуось а является средним расстоянием от фокуса (планеты от Солнца): a = (AF1 + F1A')/2. Так как при движении по эллипсу полная энергия отрицательна, большая полуось больше нуля. Длина малой полуоси b зависит от секториальной скорости тела (т.е. скорости изменения площади, заметаемой радиус-вектором). Круговые орбиты являются вырожденным случаем эллиптических. Записывая второй закон Ньютона, получим, что кинетическая и потенциальная энергия тела на круговой орбите связаны соотношением: 2K = –U. Применяя закон сохранения энергии, легко получить, что K = –E. Т.о. при круговом движении сумма полной и кинетической энергии всегда равна нулю. Элементы орбиты характеризуют форму, размеры и ориентацию в пространстве орбиты небесного тела, а также положение тела на этой орбите. В настоящее время для описания положения планеты или спутника широко используются оскуллирующие элементы.

Важнейшие точки и линии эллипса.

Эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F1 и F2) есть величина постоянная и равная длине большой оси: r1 + r2 = |AA´| = 2a. Степень вытянутости эллипса характеризуется его эксцентриситетом е. Эксцентриситет е = ОF/OA. При совпадении фокусов с центром е = 0, и эллипс превращается в окружность. Большая полуось а является средним расстоянием от фокуса (планеты от Солнца): a = (AF1 + F1A')/2. Она связана с механической энергией тела следующим соотношением:

Так как при движении по эллипсу полная энергия отрицательна, большая полуось больше нуля. Длина малой полуоси b зависит от секториальной скорости тела (т.е. скорости изменения площади, заметаемой радиус-вектором): Круговые орбиты являются вырожденным случаем эллиптических. Записывая второй закон Ньютона, получим, что кинетическая и потенциальная энергия тела на круговой орбите связаны соотношением: 2K = –U. Применяя закон сохранения энергии, легко получить, что K = –E. Т.о. при круговом движении сумма полной и кинетической энергии всегда равна нулю. Элементы орбиты характеризуют форму, размеры и ориентацию в пространстве орбиты небесного тела, а также положение тела на этой орбите. В настоящее время для описания положения планеты или спутника широко используются оскуллирующие элементы. Точка орбиты тела, ближайшая к притягивающему центру (фокусу), в общем случае называется перицентром, а наиболее удаленная от него (только у эллипса) – апоцентром. Если притягивающим центром является Земля, то эти точки называются соответственно перигеем и апогеем. Наиболее близкая точка к Солнцу называется перигелий, наиболее удаленная – афелий. Для Луны эти точки будут перилунием (периселением) и аполунием (апоселением), для произвольной звезды – периастром и апоастром. Прямая, соединяющая перицентр с фокусом (большая ось эллипса, ось параболы или действительная ось гиперболы), называется линией апсид. Расстояние от притягивающего центра до перицентра равно АF1 = a (1 – e), до апоцентра – F1A' = a (1 + e). Среднее расстояние от притягивающего центра до тела, движущегося вокруг него по эллипсу, равно длине большой полуоси.

mirznanii.com

Законы движения планет – законы Кеплера

Тема: Законы движения планет – законы Кеплера.

Цели урока: формирование основных законов движения тел; создание условий для того, чтобы обучающие учились самостоятельному поиску информации; формулированию эмпирических закономерностей.

Задачи урока:

1.Обучающая: ввести новые понятия:  о космическом явлении – движении космических тел в центральном поле тяготения и их траекториях; использовать решение задач для продолжения формирования расчетных навыков о небесной механике космических скоростях.2. Развивающая: формировать элементы творческого поиска на основе приёма обобщения;

развивать наблюдательность, умение сравнивать и анализировать учебный материал; формировать умения решать задачи на применение законов движения космических тел и формул космических скоростей.

3. Воспитывающая: воспитывать самостоятельность у учащихся через индивидуальную работу; воспитывать умения и навыки коллективной работы, через работу в парах и группах. Показать, что открытие законов Кеплера и их уточнение Ньютоном – пример познаваемости мира и его закономерностей. Формирование научного мировоззрения в ходе знакомства с историей человеческого познания и объяснения причин небесных явлений, обусловленных движением космических тел; политехническое и трудовое воспитание в ходе изложения материала о практических способах применения знаний небесной механики в космонавтике.

Тип урока: комбинированный

Методы: наглядный, частично-поисковый, приемы критического мышления, проектная деятельность.

Оборудование: карандаши, фломастеры, флипчарт, клей, ножницы, раздаточный материал, мультимедийный комплекс.

«Одна вещь наполняет душу всегда новым и 

все более сильным удивлением и благоговением, 

чем чаще и продолжительнее мы размышляем о

ней, – это звездное небо надо мной».

Иммануил Кант

Ход урока.

  1. Психологический настрой. Физминутка «Бегемотик».

  2. Введение карточки самоконтроля.

Карточка самоконтроля __________________________________________

Определение экваториальных координат Солнца

Закрытый тест на знание ПКЗН

Проект

Решение задач

Дидактическая игра «Веришь –не веришь»

Оценка за урок

  1. Вызов. Мозговой штурм. Повторение домашнего задания.

  1. Что такое календарь?

  2. Какие виды календарей бывают?

  3. По какому летоисчислению мы живем?

  4. Для чего нужен календарь?

  5. Упр.32 ответы

  1. h=90-ф+ δ 30о02/

  2. ф =90- h + δ 66о08/

  3. δ = -90+ф+ h 1о30/

  1. Работа в паре

1. Определение экваториальных координат Солнца по подвижной карте звездного неба.

Определите положение Солнца:

22 января: α= , δ= созвездие:

22 декабря: α= , δ= созвездие:

22 марта: α= , δ= созвездие:

1 сентября: α= , δ= созвездие:

2. Закрытый тест на знание ПКЗН. (Взаимооценка.)

Критерии выставления оценки:

«5» 9 – 11 баллов

«4» 6 – 8 баллов

«3» 4 – 5 балла

Заполнение карточки самоконтроля.

3. Объявление темы урока. Ребята! Все мы живем на Земле – небольшой планете, затерянной в бескрайних просторах Вселенной. Все мы живем под одним и тем же небом – снова и снова манящим к себе. Тысячи и тысячи лет люди смотрят на звездное небо. Как же разобраться в этой звездной россыпи, как установить порядок и разгадать тайны Урании – древнегреческой музы астрономии? 

  • Как вы думаете, подчиняется ли движение планет Солнечной системы законам, подобным тем, которым подчиняется движение тел на Земле? .....

  • Да, верно! Такие законы существуют и действуют, действуют с момента начала существования Солнечной системы. 

После открытия Коперником гелиоцентрической системы мира начались поиски закономерностей, которым подчиняется движение планет вокруг Солнца. Датский астроном Тихо Браге, многие годы, наблюдая за движением планет, накопил многочисленные данные, но не сумел их обработать. Это сделал его ученик Иоганн Кеплер. Им были открыты три закона движения планет вокруг Солнца.

  1. Постановка цели урока.

Вопрос: Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока?

  1. Вызов. Работа по группам.

1)Распределение учащихся по группам.

2)Распределение обязанностей в группе

  • тайм менеджер - контролирует время

  • репортер – собирает информацию

  • руководитель – оценивает работу, вносит коррективы

  • спикер – презентует мнение всей команды

  • секретарь – записывает мнение всех членов группы

3)Повторение правил работы в группе.

4)Выполнение задания (выбор темы и дополнительной информации учащимися):

Составить проект по темам:

1 группа – «1 закон Кеплера»

2 группа – «2 закон Кеплера»

3 группа – «3 закон Кеплера»

6 Законы Кеплера

Исследование движения планет показало, что это движение вызвано силой притяжения к Солнцу. Используя тщательные многолетние наблюдения датского астронома Тихо Браге, не­мецкий ученый Иоганн Кеплер в начале XVII в. установил ки­нематические законы движения планет — так называемые за­коны Кеплера.

Первый закон Кеплера

Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фоку­сов которых находится Солнце.

Эллипсом (рис. 3.3) называется плоская замкнутая кривая, сумма расстояний от любой точки которой до двух фикси­рованных точек, называемых фокусами, постоянна. Эта сумма расстояний равна длине большой оси АВ эллипса, т. е.

FtP + F2P = 2b,

где F1 и F2 – фокусы эллипса, а b — его большая полуось; О — центр эллипса. Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, а самая далекая от него точка —

Рис. 3.3

афелием. Если Солнце находится в фокусе Fx (см. рис. 3.3). то точка А — перигелий, а точка В — афелий.

Рассмотрим важнейшие точки и линии эллипса

а – большая полуось,b – малая полуось,F1, F2 – фокусы, r – радиус вектор,А – афелий,П – перигелий.

Перигелий – ближайшая к Солнцу точка орбиты, а афелий – самая удаленная от Солнца точка орбиты. Обе эти точки лежат на большой оси орбиты по разные стороны от Солнца. Степень вытянутости эллипса характеризуется эксцентриситетом е .

с – расстояние от центра до фокуса, а – большая полуось.

При совпадении фокусов с центром (слайд 11) (е = 0) эллипс превращается в окружность, при е = 1 становится параболой, при е  1 – гиперболой.

Орбиты планет – эллипсы (слайд 12), мало отличаются от окружностей, так как их эксцентриситеты малы. Например, еЗемли=0,017, еМарса= 0,091.

II закон Кеплера (закон равных площадей) 

Радиус-вектора планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади.

Радиус-вектор планеты – это расстояние от Солнца до планеты.

Площади S1 и S2 равны, если дуги описаны за одно и тоже время. Дуги, ограничивающие площади различны, следовательно, линейные скорости движения планет будут разными. Чем ближе планета к Солнцу, тем ее скорость больше. В перигелии скорость планеты максимальна, а в афелии – минимальна.

Таким образом, второй закон Кеплера количественно определяет изменение скорости движения планеты по эллипсу.

Первый и второй закон Кеплера были опубликованы в 1608-1609 годах. Оба закона решают задачу движения каждой планеты в отдельности. Совершенно естественно у Кеплера возникла мысль о существовании закономерности, связывающей все планеты в единую стройную планетную систему. Только в 1618 году Кеплер нашел и опубликовал в книге “Гармония мира” эту закономерность, известную под названием третьего закона Кеплера.

III закон Кеплера 

Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит.

Т1, а1 – звездный период обращения и большая полуось одной планеты, а Т2, а2 – другой планеты Большая полуось земной орбиты принята за астрономическую единицу расстояний: 1 а. е. = 149000000000 м. Звездный период Земли 1 год = 365 суток.

Этот закон имеет огромное значение для определения относительных расстояний от Солнца, так как звездный период нетрудно вычислить по известному синодическому периоду.

Кеплер лишь описал, как движутся планеты, но не объяснил причин движения. Это удалось сделать лишь во второй половине 17 века Ньютону.

  1. Защита проектов

  2. Осмысление.

Решение расчетных задач. Рассмотрим пример решения задачи на сто.193 Индивидуальная работа (учащиеся решают задачи самостоятельно на местах, 2 ученика за закрытой доской).

Задача №1.  Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая ось ее орбиты? Ответ: 1,59а.е.

Задача №2.  Какова продолжительность сидерического периода вращения Юпитера вокруг Солнца, если он в 5 раз дальше от Солнца, нежели Земля?

2) Сравнивание правильности решения задачи с решением на доске.

3) Оценивание работы.

Критерии оценивания расчетных задач

№ п/п

Задания

Расчетная задача.

Критерии оценивания

Балл выполнения проверяемого элемента

Бал за выполнение задания

1

Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая ось ее орбиты?

Правильно составленное условие задачи

1 балл

4 баллов

Правильно записана формула для неизвестной величины

1 балл

Правильно записана дополнительная формула

1 балл

Правильно проведены вычисления и получен правильный ответ

1 балл

2

Какова продолжительность сидерического периода вращения Юпитера вокруг Солнца, если он в 5 раз дальше от Солнца, нежели Земля?

Правильно составленное условие задачи

1 балл

4 балла

Правильно записана формула для неизестной величины

1 балл

Правильно записана дополнительная формула

1 балл

Правильно проведены вычисления и получен правильный ответ

1 балл

Общая сумма баллов: 8 баллов

Процент выполнения заданий

Количество баллов

Оценка

89-100%

7-8

«5»

72-88%

5-6

«4»

55-71%

3-4

«3»

0-54%

0-2

«2»

Шкала перевода баллов в оценки

  1. Закрепление

Дидактическая игра “Веришь – не веришь” 

Учитель читает утверждение, если ученик с ним согласен, то записывает в тетради “5”, если не согласен – “0”.

  1. Орбиты всех планет Солнечной системы имеют общий фокус.

  2. Законы Кеплера применимы к искусственным спутникам планет.

  3. При движении планеты от перигелия к афелию скорость планеты возрастает.

  4. Потенциальная энергия планеты максимальна в афелии.

  5. Отношение кубов больших полуосей орбит двух планет равно 16. Следовательно, период обращения одной планеты больше периода другой в 4 раза.

Проверка утверждениий (самоконтроль).

kopilkaurokov.ru

Урок «Законы движения планет – законы Кеплера»

Урок: «Законы движения планет – законы Кеплера»

Цель урока: Ввести понятие эллипса, познакомится с законами Кеплера и закрепить их при решении задач.

Задачи:1. Обучающая: Продолжить формирование понятия «эллипс» (определение, фокусы, центр, эксцентриситет, радиусы-векторы, большая и малая полуоси, способ построения). Ввести новые понятия: орбита планеты, афелий (апогей), перигелий (перигей) сидерический (звездный) период обращения, астрономическая единица, возмущение, небесная механика. Изучить законы Кеплера. Использовать решение задач для продолжения формирования расчетных навыков.

2. Воспитывающая: Показать, что открытие законов Кеплера и их уточнение Ньютоном – пример познаваемости мира и его закономерностей. Акцентировать внимание учащихся на том, что законы использует не только для более глубокого познания природы (например, для определения масс небесных тел), но и для решения практических задач (космонавтика, астродинамика).

3. Развивающая: доказать с учащимися, что открытие законов Кеплера представляет собой не только следующий (после открытия гелиоцентрической системы) шаг познания Солнечной системы (эллиптичность орбит, неравномерное движение планет вокруг Солнца, строгая математическая зависимость между расстояниями и периодами обращений планет), но и новый шаг в познании Вселенной (законы Кеплера, как и закон всемирного тяготения, действуют за пределами Солнечной системы).

Знать:

1-й уровень (стандарт) – понятие эллипса и его характерных точек, понятие и значение астрономической единицы, формулировки трех законов Кеплера.

2-й уровень - понятие эллипса и его характерных точек, понятие и значение астрономической единицы, формулировки трех законов Кеплера.

Уметь:

1-й уровень (стандарт) – вычислять для эллипса его определяющих характеристик, производить расчеты по третьему закону периодов и полуосей.

2-й уровень - объяснить принцип вывода эллиптической орбиты Кеплером, вычислять для эллипса его определяющих характеристик, производить расчеты по третьему закону периодов и полуосей.

Оборудование: Таблица “Солнечная система”, CD- "Red Shift 3" (нахождение небесного объекта в заданный момент времени).

Ход урока:

  1. Новый материал (20мин).

    Гелиоцентрическая система Н. Коперника

    Планеты движутся по круговым орбитам. Планеты движутся равномерно

  2.   Но между предвычисленным и наблюдаемым положением планет существовало различие - это выявил австрийский астроном – основоположник теоретической астрономии ИОГАН КЕПЛЕР (27.12.1571 – 15.11.1630).

  3.    Работал в Праге. Был учеником Тихо Браге (1546-1601, Дания). Унаследовал после смерти Т. Браге подробные таблицы наблюдения движения Марса, и на их основе (этих данных) вывел законы движения планет (но не объяснил их т.к. не был открыт И. Ньютоном закон всемирного тяготения), преодолев предрассудки о равномерном движении по “самой совершенной” кривой - окружности.

  1.   Открытые законы носят имя Кеплера.

  2. 1ый закон Кеплера. [открыт в 1605 году, напечатан в 1609г в книге “Новая астрономия ….”= вместе с 2-м законом].

  3. Определение: Орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Для построения орбиты планет (на примере Марса) Кеплер перейдя от экваториальной системы координат к системе координат, указывающих его положение в плоскости орбиты принял в приближении орбиту Земли окружностью. Для построения орбиты применил способ показанный на рисунке, отсчитывая прямое восхождение от точки весеннего равноденствия на положение нескольких противостояний Марса. Проведя по полученным точкам плавную кривую получил эллипс и нашел формулу описывающую орбиту планеты X=е*sin(а)+M.

CD- "Red Shift 3" - показ нахождения сегодняшнего положения Марса и его характеристика по выведенным таблицам.

1.Эллипс - замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой точки до фокусов постоянна.

Эллипс характеризуется

эксцентриситетом (степень сжатия - отличие от окружности -):

е=с/а,

где а - большая полуось орбиты,

а с - расстояние от центра эллипса до его фокуса.

При е=с=0 эллипс превращается в окружность, а при е=1 в отрезок.

Для эллиптической орбиты планеты характерны точки:

Перигелий (греч. пери – возле, около) ближайшая к Солнцу точка орбиты планеты (для Земли 1-5 января).

Афелий (греч. апо – вдали) наиболее удаленная от Солнца точка орбиты планеты (для Земли 1-6 июля).

Учитывая греческие названия планет, характерные точки эллиптической орбиты ее спутников будут иметь собственные названия. Так Луна – Селена (переселений, апоселений), Земля – Гея (перигей, апогей).

  Большая полуось орбиты Земли (среднее расстояние Земли от Солнца) называется астрономической единицей.

1а.е.=149 597 868 ± 0,7 км ≈ 149,6 млн. км.

  1. 2ый закон Кеплера. [открыт в 1601 году, напечатан в 1609г в книге “Новая астрономия ….”= вместе с 1-м законом].

  1. Определение: Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

    2 закон называют законом площадей.

    Заштрихованные площади фигур равны.

    Из чертежа видно, что дуги (пройденные пути) разные,

    отсюда υп>υа, т.е в перигелии υmax, а в афелии υmin.

    По закону сохранения энергии полная механическая энергия замкнутой системы, между которыми действует сила тяготения, остается неизменной при любых движениях тел этой системы.

    Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергии планеты неизменна во всех точках орбиты.

    По мере приближения к Солнцу кинетическая энергия планеты возрастает, а ее потенциальная энергии уменьшается.

  2. 3ый закон Кеплера. [открыт в 1618 году, напечатан в 1619г в книге “Гармония мира”].

    Определение: Квадраты звездных (сидерических) периодов обращения планет относятся между собой как кубы больших полуосей их орбит.

    Законы Кеплера применимы не только для планет, но и к движению их естественных и искусственных спутников.

  3. Закрепление материала (18мин).

    1. Задача 1. Оформить решение на доске.

    2. Задача 2. Противостояние некоторой планеты повторяется через 2 года. Чему равна большая полуось ее орбиты?

Ответ: Т=2года. По 3-ему закону Кеплера получим а =1.59а.е.

    1. Задача 3. Отношение квадратов периодов обращения двух планет равно 8. Чему равно отношение больших полуосей этих планет? (желательно показать решение в общем виде, а1/а2=2)

Задача 1. “Спутник-1”, запущенный 4 октября 1957г на орбиту Земли имел перигей 228 км и апогей 947 км при периоде обращения 96,2 мин. Определите большую полуось и эксцентриситет орбиты. 

Решение:

Из рисунка

а= (ап+R+R+аа)/2=

= (228+ 6371+6371+947)/2=

=6958,5 км

е=с/а

[c= (аа - ап)/2- почему эта формула получилась?] 

получим е=0,052.

 Итог:

1) Какие законы движения мы изучили?

2) На чем основывался Кеплер, открывая свои законы?

3) Что такое перигелий, афелий?

4) Когда Земля обладает наибольшей кинетической энергией, наименьшей?

5) Как найти эксцентриситет?

6) О каких периодах вращения синодических или сидерических идет речь в третьем законе Кеплера?

7) У некоторой планеты большая полуось орбиты равна 4 а.е., а эксцентриситет равен нулю. Чему равна малая полуось ее орбиты?

8) Оценки

Домашнее задание: §9, Практическая работа №3., Сообщение ученика из книги “Астрономия в ее развитии” = Рождение великого закона.

Пр №3

Выяснение условий видимости планет

Чертежные инструменты

  1. Нарисуйте орбиты четырех ближайших к Солнцу планет в М 1:30 млн.км.

  2. Используя данные таблиц гелиоцентрических долгот из ШАК, отметьте на орбите положение каждой планеты в марте - апреле, проведя произвольный луч из центра и считая его направлением на точку весеннего равноденствия, а от него откладывайте на дугах соответствующие гелиоцентрические долготы против часовой стрелки.

  3. Направив линию Земля-Солнце на Солнце на данный момент наблюдения, выясните: какие планеты заходят позже Солнца (слева от направления - видны вечером), или раньше (справа – видны утром). Если угол более 15° (при меньшем, вряд ли увидите), то планету следует искать на соответствующем расстоянии от него.

  4. Оформите работу и сделайте выводы. Ответьте на вопросы по датам прохождения планетами перигелия и афелия, противостояния и соединения, величин эксцентриситета, созвездия и так далее.

Обратно на стр.: /word.html

gigabaza.ru

Законы Кеплера законы движения планет

В формулировке Ньютона законы Кеплера звучат так:

- первый закон: под действием силы тяготения одно небесное тело может двигаться по отношению к другому по окружности, эллипсу, параболе и гиперболе. Надо сказать, что он справедлив для всех тел, между которыми действует взаимное притяжение.

- формулирование второго закона Кеплера не дана, так как в этом не было необходимости. - третий закон Кеплера сформулирован Ньютоном так: квадраты сидерических периодов планет, умноженные на сумму масс Солнца и планеты, относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

Первый закон Кеплера (Закон эллипсов)

Первый закон Кеплера.

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера   

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во вселенной притягивает каждый другой объект по линии соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму

Вспомним, что в полярных координатах

В координатной форме запишем

Подставляя и во второе уравнение, получим

которое упрощается

После интегрирования запишем выражение

для некоторой константы , которая является удельным угловым моментом ().Пусть

Уравнение движения в направлении становится равным

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.

В результате

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

для произвольных констант интегрирования e и θ0.

Заменяя u на 1/r и полагая θ0 = 0, получим:

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (Закон площадей)

Второй закон Кеплера.

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кепплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии бо́льшую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера   

По определению угловой момент точечной частицы с массой m и скоростью записывается в виде:

.

где - радиус-вектор частицы а - импульс частицы.

По определению

.

В результате мы имеем

.

Продифференцируем обе части уравнения по времени

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что - константа.

Третий закон Кеплера (Гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

, где T1 и T2 — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a1 и a2 — длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: , где M – масса Солнца, а m1 и m2 – массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Доказательство третьего закона Кеплера   

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем

Теперь, когда мы нашли VB, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

Однако полная площадь эллипса равна (что равно πab, поскольку ). Время полного оборота, таким образом, равно

Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы M + m (см. приведённая масса). При этом массу M в последней формуле нужно заменить на M + m:

dereksiz.org

Законы Кеплера законы движения планет

Подобный материал:
  • Законы сохранения и принципы симметрии, 283.17kb.
  • Законы Кеплера, 12.41kb.
  • Направление: Искусство и гуманитарные науки, 1316.91kb.
  • Тема: Введение в гидравлику Лекция, 328.7kb.
  • Программа профильного курса для 10-11-х классов средней общеобразовательной школы Ивлев, 503.96kb.
  • Лекция №8 Построение математических моделей технологических объектов и систем аналитическим, 98.99kb.
  • Связанные с механическим движением жидкости в различных природных и техногенных условиях, 1539.22kb.
  • Законы делимости (дискретности) в мире животных и растений. Законы наследственности, 276.87kb.
  • Авторское право. Терминология, 213.44kb.
  • Задачи работы: 1 Изучить особенности строения и климата, условия движения, состав атмосферы, 340.41kb.

Законы Кеплера - законы движения планет

В формулировке Ньютона законы Кеплера звучат так:

- первый закон: под действием силы тяготения одно небесное тело может двигаться по отношению к другому по окружности, эллипсу, параболе и гиперболе. Надо сказать, что он справедлив для всех тел, между которыми действует взаимное притяжение.- формулирование второго закона Кеплера не дана, так как в этом не было необходимости.- третий закон Кеплера сформулирован Ньютоном так: квадраты сидерических периодов планет, умноженные на сумму масс Солнца и планеты, относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

Первый закон Кеплера (Закон эллипсов)

Первый закон Кеплера.

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера   

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во вселенной притягивает каждый другой объект по линии соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму

Вспомним, что в полярных координатах

В координатной форме запишем

Подставляя и во второе уравнение, получим

которое упрощается

После интегрирования запишем выражение

для некоторой константы , которая является удельным угловым моментом ().Пусть

Уравнение движения в направлении становится равным

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.

В результате

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

для произвольных констант интегрирования e и θ0.

Заменяя u на 1/r и полагая θ0 = 0, получим:

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (Закон площадей)

Второй закон Кеплера.

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кепплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии бо́льшую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера   

По определению угловой момент точечной частицы с массой m и скоростью записывается в виде:

.

где - радиус-вектор частицы а - импульс частицы.

По определению

.

В результате мы имеем

.

Продифференцируем обе части уравнения по времени

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что - константа.

Третий закон Кеплера (Гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

, где T1 и T2 — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a1 и a2 — длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: , где M – масса Солнца, а m1 и m2 – массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Доказательство третьего закона Кеплера   

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем

Теперь, когда мы нашли VB, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

Однако полная площадь эллипса равна (что равно πab, поскольку ). Время полного оборота, таким образом, равно

Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы M + m (см. приведённая масса). При этом массу M в последней формуле нужно заменить на M + m:

geum.ru

Законы Кеплера законы движения планет

В формулировке Ньютона законы Кеплера звучат так:

- первый закон: под действием силы тяготения одно небесное тело может двигаться по отношению к другому по окружности, эллипсу, параболе и гиперболе. Надо сказать, что он справедлив для всех тел, между которыми действует взаимное притяжение.

- формулирование второго закона Кеплера не дана, так как в этом не было необходимости. - третий закон Кеплера сформулирован Ньютоном так: квадраты сидерических периодов планет, умноженные на сумму масс Солнца и планеты, относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

Первый закон Кеплера (Закон эллипсов)

Первый закон Кеплера.

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера   

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во вселенной притягивает каждый другой объект по линии соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму

Вспомним, что в полярных координатах

В координатной форме запишем

Подставляя и во второе уравнение, получим

которое упрощается

После интегрирования запишем выражение

для некоторой константы , которая является удельным угловым моментом ().Пусть

Уравнение движения в направлении становится равным

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.

В результате

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

для произвольных констант интегрирования e и θ0.

Заменяя u на 1/r и полагая θ0 = 0, получим:

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (Закон площадей)

Второй закон Кеплера.

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кепплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии бо́льшую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера   

По определению угловой момент точечной частицы с массой m и скоростью записывается в виде:

.

где - радиус-вектор частицы а - импульс частицы.

По определению

.

В результате мы имеем

.

Продифференцируем обе части уравнения по времени

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что - константа.

Третий закон Кеплера (Гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

, где T1 и T2 — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a1 и a2 — длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: , где M – масса Солнца, а m1 и m2 – массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Доказательство третьего закона Кеплера   

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем

Теперь, когда мы нашли VB, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

Однако полная площадь эллипса равна (что равно πab, поскольку ). Время полного оборота, таким образом, равно

Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы M + m (см. приведённая масса). При этом массу M в последней формуле нужно заменить на M + m:

www.dereksiz.org